MATEMATİK VE DOĞA

MATEMATİK VE DOĞA


MATEMATİK DOĞADA VARMIDIR?


Matematiksel kavramların doğada olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şu şekilde savunuyorlar.
Doğada
matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta
boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de görülebilir. Kalemi kağıda
dokundurduğumuzda elde ettiğimiz nokta boyutludur, matematiksel nokta
gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir
ağırlığı vardır. “işte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur
doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler
vardır.
Doğa da matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kağıdın
üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de
birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne kadar düz yazarsa yazsın
çizdiğimiz çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa
matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada
“sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki, atom,
elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse
sonsuza kadar gidemez, kimse sonsuzu gösteremez. Kimse sonsuzda
olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada π
sayısı da yoktur. Çünkü π sayısı 3,141592653... diye sonsuza kadar
uzayıp giden bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir
düzene göre yinelenmezler. Bu yüzden, sonsuz olmadığında π de yoktur.
Kimse π’yi tam olarak yazamaz. π’yi, bir çemberin(dairenin) çapına
bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, π’nin doğada olduğunu
göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp
bölme işlemi yaptığımızda, π’yi değil, π’ye yaklaşık bir sayıyı
buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur. Doğada
“işte çember” diyebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin
yarattığı bir kavramdır. Zaten uygulamalarda π gibi gerçel sayılara
gereksinim duymayız. 3,14159=314159/10000 gibi kesirli sayılar
uygulamalarda yeterlidir. Bu da, π’nin doğada olmadığı savını
desteklemez mi?
Doğada π olmadığı gibi, 0.99999999... sayısı da
yoktur. Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9
gerekir ve ne yazık ki bu iş için zamanımız yok!
Doğada “bir”
yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir”
yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu
ortam arasındaki sınır tam olarak belli değildir ki! Elmayla elmanın
bulunduğu ortam arasında sürekli bir molekül alış verişi vardır.
Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam olarak ne zaman elmalıktan
çıktığını söyleyebilir miyiz? Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu
gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi
başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmıştır.
Ya sıfır? Sıfır
var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri
sayamadığımızı yukarıda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor
olsa gerek!
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur.
Matematiğin doğada olmadığı üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.

MATEMATİĞİN KAYNAĞI DOĞAMIDIR?


Hiç
kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması
olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir”
kavramı, “çember” kavramı, “π” kavramı vardır.bu kavramlar
matematikçilerin yaratısı bile olsa, düşünce olarak bile olsa
vardırlar. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiğin doğada olup
olmadığı sorusu sorulmazdı. Bu kavramlar yoktan varolmamamıştır. En
soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Her düşünce ürünü bizim
dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun,
felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı
doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir.


MATEMATİK VE TEKNOLOJİ


Günümüz
ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz göz önüne alınınca,
matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı anlaşılıyor. Matematiğin
çok soyut kavraları bile zamanla uygulama alanları bulabiliyor. Bu da,
matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini,
betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak
kağıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile
olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın,
matematikteki bir kavramıyla tansıklık yaratılıyor: uzaya gidiliyor,
gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığyla dünyanın bir köşesiyle ses
ve görüntü bağlantısı kuruluyor... Matematik doğanın yasalarını ve
mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı
ve uğraştır. Teknoloji, bugün matematikle, fizikle, kimyayla ve
mühendislik uygulamalarıyla geliştiriliyor. Çalışmalar ilk önce kağıt
üzerine dökülüyor, sonra uygulamaya geçiriliyor. 1-Uygulanan matematik
vardır
2-Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır.
3-Bugün soyut sanılan matematik gelecekte uygulama alanları bulabilir (bulamayabiklir de).

MATEMATİK DOĞAYI YORUMLAR

Bir
ressam yaptığı resimlere doğayı aynen yansıtmaz, onu yorumlayarak
yapar. Matematik de resim gibi doğayı yorumlar. Örneğin iki nokta
arasındaki uzay parçası matematikte bir sayıyla (iki nokta rasındaki
uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ile bir uzay parçası arasında
ayrım vardır. Burada bir yorum söz konusudur.
Bir başka örnek: beş
metre uzunluğunda bir cetvel üzerinde π’nin yerini tam olarak
gösteremeyiz. O zaman doğada fiziksel anlamda π sayısının olup
olmadığını nerden biliyoruz?
Biraz daha ileri gidelim. Doğada,
fiziksel anlamda, 0’dan büyük ama 1/2’den, 1/3’ten, 1/4’ten ve genel
olarak n>0 tamsayısı için 1/n’den küçük bir sayının olmadığını kabul
ediyoruz. Yani, sonsuz küçük sayıların doğada fiziksel anlamda
olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Nereden belli? Belki sonsuz küçük
sayılar var da biz gözlemleyemiyoruz. Böyle bir olsılık vardır. Hiç
kimse bu sayıların doğada olmadıklarına güvence veremez.
Son bir
örnek: matematikte 3 sayısı {0,1,2} kümesi olarak, 2 sayısı {0,1}, 1
sayısı {0} olarak tanımlanır. 0 sayısıysa Ø olarak, yani boş küme
olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi sayıların matematiksel tanımı bir
yorumdur.
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez.

MATEMATİK DOĞADA VARDIR

Matematik, doğayı –yaklaşık olarak bile olsa- anlamamızı sağlar. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır.
Doğa
yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız,
duyumsadıklarımız değildir. Doğanın bize sergiledikleri de vardır.
Örneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama
doğru düşüncesi (kavramı) doğada vardır ve doğa bize doğru kavramını
sezdirtir. Upuzun bir ağaç, denizle gökyüzünü ayıran çizgi, güneş
ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hücreleri
matematiksel altıgeni, gece gördüğümüz yıldızlar matematiksel noktayı,
ay, güneş ve gezegenler matematiksel çemberi ve küreyi fısıldarlar.
Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Geçen
günler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaçlar, bir bitkinin
yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz
insanlardan bağımsız vardır. Bu fısıltıyı duyabilecek varlık olmasa da
fısıltı vardır.
Doğada “işte!” diye gösterebileceğimiz bir “bir”
olmayabilir. Ama doğa bize “bir” kavramını fısıldar. Avustralya ve
Afrika’nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kültürüyle
tanışmamış olmalarına karşın, 1’i, 2’yi, 3’ü bulmuşlardır. Demek ki
doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa özgü değildir, her
uygarlık duyabilir. Arı peteğinin her hücresi kusursuz bir altıgen
olmayabilir. Ama arı, peteğinin hücresini yaparken hücrenin altıgen
olmasına çalışır. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmayabilir, ama sabun
köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Sonsuz küçük sayılar fiziksel
olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada düşünce/fısıltı olarak
vardırlar, örneğin durmadan küçülen ama hiçbir zaman sıfır olmayan ½,
1/3, ¼, 1/5... dizisi bize sonsuz küçüğü anlatır.


SONUÇ
OLARAK; en temel matematiksel kavramlar doğada vardır. Matematiğin en
derin, en soyut kavramları doğanın bize sunduğu en temel kavramlardan
bir zorunluluk sonucu doğar. Her kavramın bağrında da başka kavramlar
barınır.
Matematik, matematikçilerden ve insanlardan bağımsız
olarak vardır. Pisagor diküçgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir.
Galois, grupları yaratmamıştır, keşfetmemiştir. Noether, halkaları
yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır,
keşfetmiştir...
Kısacası matematik doğada vardır.

Pİ SAYISININ TARİHSEL GELİŞİMİ

ESKİ YUNAN'DA Pİ SAYISI

Kaynaklar
pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından
kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak
için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit
etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu
iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan
bir değerdir. Ancak Archimedes'in gençlik yıllarında Mısır'da uzun bir
süre öğrenim gördüğü bilinmekte.

Archimedes'in sağlığında
İskenderiye'de Öklid den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve
Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu,
bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika
adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71'dir. Bu değer,
İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ
matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır.
İskenderiyeli Heron'un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli
olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi
muhtemeldir.

MEZOPOTAMYALILAR'DA Pİ SAYISI


Pi
sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri, kullanılan
yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak p=3
değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde p=3,125 değerine de
rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde,
"Mezopotamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki
geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde
teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Böyle
problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış
olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar
için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek
istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının;
Mısırlılarınki'nden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça
daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur.
Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma
hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını
belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan
tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Bugün
bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok
problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela: Bu tablette, bir
dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu
sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı
sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve
yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140
değerleri veriliyor.

Pİ SAYISININ 1000 BASAMAKLI AÇILIMI


3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445
92307816406286208998628034825342117067982148086513 2823066470938
44609550582231725359408128481117450284102701938521 1055596446229
48954930381964428810975665933446128475648233786783 1652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606
31558817488152092096282925409171536436789259036001 1330530548820
46652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611
79310511854807446237996274956735188575272489122793 8183011949129
83367336244065664308602139494639522473719070217986 0943702770539
21717629317675238467481846766940513200056812714526 3560827785771
34275778960917363717872146844090122495343014654958 5371050792279
68925892354201995611212902196086403441815981362977 4771309960518
70721134999999837297804995105973173281609631859502 4459455346908
30264252230825334468503526193118817101000313783875 2886587533208
38142061717766914730359825349042875546873115956286 3882353787593
75195778185778053217122680661300192787661119590921 64201989...

TÜRK-İSLAM DÜNYASI'NDA Pİ SAYISI


15.
yüzyıl Türk - İslam Dünyası ünlü matematik ve astronomi alimi,
Giyasüddin Cemşid, pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru
olarak hesaplayan ilk kişidir. Cemşid'in pi için verdiği değer
p=3,1415926535898732 dir. 15. yüzyılda, pi sayısının, ancak 6.
ondalığına kadar olan değeri bilinmiş olduğuna, 16. ondalığa kadar
doğru değerin de, batı bilim dünyasında, Hollandalı matematikçi Adriaen
van Rooman tarafından, doğru olarak hesaplandığına göre, Gıyasüddin
Cemşid'in bu konuda da, zamanının matematiğinden 200 yüzyıl ileride
olduğu ortaya çıkmaktadır.

MATEMATİK VE MÜZİK



Eski
çağlardan beri müziğin matematik ile ilişkisi biliniyordu. Ortaçağda
eğitim programlarında müzik, aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı
grupta yer alırdı. Günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile bu bağ sürüyor.
Matematiğin
müzik üzerindeki etkisinin açıkça görülebildiği alan, müzik
parçalarının yazımıdır. Bir müzik parçasında ritim (4:4'lük, 3:4'lük,
gibi), belirli bir ölçüye göre vuruş, birlik, ikilik, dörtlük,
sekizlik... notalar bulunur. Bir ölçüye göre n sayıda nota yazmak,
matematikte ortak paydayı bulmaya benzer, çünkü belirli ritimde,
değişik uzunluktaki notalar belirli bir ölçüye uydurulur. Besteciler,
yapıtlarını nota yazısının katı kalıpları çerçevesinde, mükemmel bir
biçimde ve zorlanmadan yaratırlar. Karmaşık bir beste incelendiğinde,
her ölçünün, değişik uzunlukta notaları kullanan belirli sayıda
vuruştan oluştuğu görülür.
Matematik ile nota yazımının arasındaki
bu ilişkinin yanı sıra müzik, oranlar, üstel eğriler, periyodik
fonksiyonlar arasındaki ilişki de değerlendirilir. İlk kez oranlar ile
müziği PISAGOR cular ilişkilendirmiştir. Sesin, çekilen bir telin
uzunluğuna bağlı olduğu fark edilerek müzikte armoni ile tamsayılar
arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin
tellerin armonik sesler verdiği görüldü. Gerçekten de çekilen tellerin
her armonik bileşimi tamsayıların oranı biçiminde gösterilebilir.
Örneğin, C(do) notasını çıkaran bir teli ele alalım. C'nin uzunluğunun
16/15'i B'yi (si), 6/5'i A'yı (la, 4/3'ü G'yi (sol), 3/2'si F'yi (fa),
8/5'i E'yi (mi), 16/9'u D'yi verir.
Kuyruklu pianonun biçiminin
neden eğri olduğunu düşündünüz mü? Gerçekten bir çok müzik aletinin
biçimi ve yapımı matematiksel kavramlara dayanır. Üstel fonksiyonlar ve
eğriler bu kavramlardandır. Üstel bir eğrinin denklemini y=a*kx
(k>0) olarak düşünebiliriz. Telli ve üflemeli çalgıların biçimler bu
üstel eğrinin biçimiyle eşlenebilir.
Müzikal seslerin niteliğinin
incelenmesi 19.yy'da matematikçi [linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz
görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız]'in çalışmalarıyla doruğa
çıktı. O, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin
matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini, bunun da basit periyodik
sinüs fonksiyonlarıyla olabileceğini kanıtladı. Her sesin, onu başka
müzikal seslerden ayıran üç özelliği vardır:

 perdesi

 yüksekliği

 dokusu


Fourier'in
buluşu, sesin bu üç özelliğinin grafikle gösterilmesini sağlamıştı. Ses
dalgası, eğrinin frekansıyla: sesin yüksekliği, eğrinin genliğiyle ve
sesin dokusu periyodik fonksiyonun biçimiyle ilişkilidir.
Müziğin matematiğinin kavranmasıyla, beste ve müzik aletleri yapımında bilgisayarlardan yararlanmak mümkün olmuştur.
1) Matematik doğanın dilidir.
2)Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabir.
3)Rakamları hangi sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar.
Bu
yüzden doğada her yerde şablonlar vardır. Kanıt, bulaşıcı hastalıkların
döngüsü, dil popülasyonlarının artması ve azalması, güneş lekesi
döngüleri, Nil nehrinin yükselip-alçalması.
Peki Borsaya ne
demeli..? Rakamların evreni, bize evrensel ekonomiyi gösteriyor
milyonlarca insan bir işte çalışıyor, milyonlarca akıl hızlı ağlar
yaşamla doluyor.
Bir şeyin boyutlar arasında meydana geldiği fikri
ile ne kast edildiğini anlamak için sıradan bir mektup kağıdını
düşünün. Kağıt iki boyutluk bir düzlem, boy ve eni temsil etsin.
Düzlemi buruşturup bir top haline getirin. Şimdi kaç boyutu var? Tam
olarak küre değil, ama artık bir düzlem de değil. Benzer şekilde, bir
sahil şeridi de sıradan tek boyutlu bir çizgiden farklıdır. Tek düz bir
çizgiden ziyade bir düzlemin yüzeyinde olabildiğince çok matematiksel
noktadan geçecek derecede buruşuk ve kırışıktır.
Karmaşık sayı
düzlemi matematiksel yapının bir bölgesinde kurulmuş bir sayılar
çalılığıdır. Matematikçiler ve bilgisayarcılar, bu bölgedeki sayılara
doğrusal olmayan (geri bildirimli) basit formül ya da bir algoritma
uygulayıp, bunu bilgisayar vasıtası ile grafiğe dönüştürdüklerinde
belirli bir organik niteliği olan ve sanatı andıran çok çekici
görüntüler elde edebilirler.